Home
Рабочая тетрадь Математического Кружка
 
 [Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends]

Below are the 12 most recent journal entries recorded in kursor_math's LiveJournal:

    Saturday, November 13th, 2004
    6:28 pm
    Занятие 8. Остатки
     Задачи для затравки
    1. Над африканской деревней сгустились тучи и ровно в полдень полил дождь. После 3 суток непрерывного дождя племя спросило колдуна, когда все это кончится. Тот сказал: «Ровно через 300 часов после начала дождя тучи развеются и выглянет солнце». Заслуживает ли колдун доверия?
    2. Начнем считать пальцы на левой руке. 1-м будет большой, 2-м – указательный, 3-м – средний, 4-м – безымянный, 5-м – мизинец, 6-м – снова безымянный, 7-м – средний, 8- м – указательный, 9-м – большой, 10-м – снова указательный и т.д. Какой палец будет 2004-м?
    3. Какой день недели будет 13 ноября 2032 года?
    Saturday, October 30th, 2004
    7:33 pm
    Занятие 7. Толковые вопросы
     Уменьшай неопределенность: рассчитывай на худший ответ и выбирай вопрос так, чтобы при худшем ответе получить минимально возможное количество вариантов.
    Saturday, October 23rd, 2004
    4:13 pm
    Saturday, October 16th, 2004
    7:09 pm
    Saturday, October 9th, 2004
    3:45 pm
    Продвинутый маткружок. Занятие 4. Сочетания
     Cетевое зеркало очного математического кружка в сотрудничестве с Образовательным проектом "Курсор" продолжает свои занятия. Здесь вы можете участвовать в работе кружка заочно: обсуждать задачи и предлагать свои решения. Можно писать и транслитом, если вам так удобнее.
    Ссылки:     Предыдущее занятие   Следующее занятие      Ответы      Шведская версия

    Сочетания. Если есть N предметов, то из них можно выбрать k предметов C(N,k) способами (читается "цэ из эн по ка"). Порядок предметов нам не важен. Мы можем  эти k предметов расставить по порядку k! способами, поэтому из каждого сочетания по k можно получить k! размещений по k. Значит, C(N,k)·k! = Nk. Поэтому число сочетаний из N по k  
    C(N,k) =     N(N-1)(N-2)...(N-k+1) / k!
    (в числителе и знаменателе по k сомножителей).

    Упражнения

    1. Вычислите a) 102   b) C(10,2).  

    2. Вычислите a) 93   b) C(9,3)     c) 93 / C(9,3)

    3. Есть 9 предметов на выбор. Сколькими способами можно 
    а)     составить список из трех предметов по порядку? 
    b)     выбрать набор из трех предметов (порядок не важен)? 

    4. В команде 10 человек.  Сколькими способами можно 
    а)     выбрать из них капитана и заместителя? 
    b)     выбрать из них двух дежурных? 

    5. В команде 10 человек.  Сколькими способами можно выбрать из них 8 игроков на ближайшую игру?

    6. Вычислите C(9,6). Объясните, почему ответ совпадает с одним из ответов выше.

    7. В карточке лотереи "4 из 12" надо заполнить 4 пронумерованные клеточки из 12. При розыгрыше наугад вынимаются 4 номера из 12. Главный приз выигрывает тот, кто угадает все номера. Сколько карточек надо заполнить, чтоб наверняка получить главный приз? 

    Задачи

    8. Вычислите С(1001,3) / С(1001,2) 

    9. В карточке надо отметить 4 лошадей из 12 участниц забега. Приз "Миллион" выигрывает тот, у кого все 4 отмеченные лошади придут среди первых четырех. Пете подсказали двух лошадей, которые точно не окажутся в первой четверке.  Сколько карточек ему надо заполнить, чтоб наверняка получить приз "Миллион"? 

    10. В команде 15 человек, включая Петю. На ближайшую игру надо выбрать 11 человек. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы
    а) взять Петю?
    b) не взять Петю?
    (ответ можно давать в виде C(...,...), не доводя до числа.

    11. Не вычисляя, докажите что 
    а) C(14,11)+C(14,10) = C(15,10)
    b) C(N-1,k)+C(N-1,k-1) = C(N,k)

    12 а) Среди 9 шаров три радиоактивных. Можно проверять на радиоактивность кучку из любых шаров. Объясните, почему не существует способа за 6 проверок гарантированно найти все три радиоактивных шара. (Измеритель радиоактивности не показывает уровня радиации, а только выдает ответ «в данной кучке шаров нет радиоактивных» или «в данной кучке шаров есть радиоактивные»)
    b) Среди 9 монет – три фальшивых (легче настоящих). Объясните, почему не существует способа за 4 проверки гарантированно найти все три фальшивых монеты.

    13.  Сколько есть 10-значных чисел, составленных из трех цифр 5 и семи цифр 6?

    14* Шахматной ладье разрешили ходить только на одну клетку вверх или на одну клетку вправо. Сколькими способами она может добраться из правого нижнего угла угла в левый верхний на доске размером
    a) 3x3    b) 4x4  c) 8x8    d)NxN  e) MxN  ?

    Saturday, October 2nd, 2004
    6:41 pm
    Продвинутый маткружок. Занятие 3. Размещения, факториалы, перестановки
     Cетевое зеркало очного математического кружка в сотрудничестве с Образовательным проектом "Курсор" продолжает свои занятия. Здесь вы можете участвовать в работе кружка заочно: обсуждать задачи и предлагать свои решения. Можно писать и транслитом, если вам так удобнее.
    Ссылки:     Предыдущее занятие   Следующее занятие      Ответы      Шведская версия

    Размещения. Если в алфавите N букв, то количество слов (осмысленных или бессмысленных) из k различных букв равно Nk = N(N-1)(N-2)...(N-k+1) – всего k сомножителей. Например, в алфавите A,B,C есть 3·2 двухбуквенных слова: AB, AC, BA, BC, CA, CB.

    1. a) Сколько есть трехзначных чисел без 0 в записи, где все цифры различны?
    b) Сколько есть трехзначных чисел без 0 в записи, где не более двух различны цифр?

    2. a) В заезде участвуют 8 лошадей. Зритель может за заполнить карточку с предсказанием, кто какое место займет. Кто угадает первые 4 места, выиграет миллион. Сколько карточек должен заполнить Петр, чтобы точно получить выиграть миллион?
    b) Конюх – друг Петра – точно знает, какие 4 лошади придут первыми, и в каком порядке, но говорить об этом ему запрещено. Петр, однако, может вслух высказывать предположения, а эксперт подмигиванием подтверждает или опровергает его. Предположения могут быть сложными, например «Лошадь A обгонит ровно одну из лошадей B,C,D» За какое минимальное число предположений Петр сможет узнать, как ему правильно заполнить карточку. 

    3. а) Среди 6 монет две фальшивых – одна тяжелее, другая легче настоящих. Можно ли наверняка найти обе фальшивые монеты и выяснить, которая из них легче за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь?
    b) Среди 4 монет две фальшивых – одна тяжелее, другая легче настоящих. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно наверняка найти обе фальшивые монеты и выяснить, которая из них легче?

    Перестановки. N предметов можно разложить в ряд N(N-1)…2·1 способами. Сокращенно это произведение чисел от N до 1 обозначается N! и называется N-факториал. Например, 4!=4·3·2·1=24.

    4. Вычислите 1!, 2!, 3!, 5!, 6! и 7!.

    5. Сколько есть четырехзначных чисел, где все цифры больше 5 встречаются ровно по разу?

    6. Найдите две последние цифры числа 11!, не находя самого числа.

    7. Сколькими способами на шахматной доске можно разместить 8 ладей так, чтоб они не били друг друга?

    8. Вычислите a) 2004!/2003! b) 100!/98!

    9. Есть 4 камня разного веса и чашечные весы без гирь. За какое наименьшее число взвешиваний их можно разложить в порядке возрастания весов?

    10. Что больше: 100! или 2100? Почему?

    11. В забеге участвуют 7 тараканов. Зритель может за 200 крон заполнить карточку с предсказанием, кто какое место займет. Если он угадает, то получит приз миллион крон. Выгодна ли эта игра зрителю, если он про этих тараканов ничего не знает?

    12* а) В стране 4 города, каждая пара соединена отдельной дорогой. Злой колдун хочет сделать все дороги с односторонним движением так, что если можно добраться из города A в город B, то обратно из B в A нельзя будет добраться даже через другие города. Сколькими способами колдун может так заколдовать дороги?
    b) Тот же вопрос – про 10 городов.

    13* Есть 4 гири. Известно, что их веса 101, 102, 103 и 104 г, но какая сколько весит - неизвестно. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выяснить веса всех гирь?

    14* Среди 5 монет – две фальшивых. Настоящие весят 10 г каждая, фальшивые – 9 г и 11 г. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно наверняка найти обе фальшивые монеты и выяснить их вес?

    Sunday, September 26th, 2004
    9:30 am
    Продвинутый маткружок. Занятие 2: За минимум вопросов-2
     Cетевое зеркало очного математического кружка в сотрудничестве с Образовательным проектом "Курсор" продолжает свои занятия. Здесь вы можете участвовать в работе кружка заочно: обсуждать задачи и предлагать свои решения. Можно писать и транслитом, если вам так удобнее.

    Ссылки: Занятие 1      Ответы      Шведская версия

    1. Среди 16 шаров один – радиоактивный. Можно проверять на радиоактивность кучку из любых шаров. За какое наименьшее число проверок можно найти радиоактивный шар?


    2. Среди 5 шаров два радиоактивных. Можно проверять на радиоактивность кучку из любых шаров. За какое наименьшее число проверок можно найти оба радиоактивных шара? (Измеритель радиоактивности не показывает уровня радиации, а только выдает ответ «в данной кучке шаров нет радиоактивных» или «в данной кучке шаров есть радиоактивные»)


    3. a) В ряд лежат 4 монеты, причем до некоторого места все монеты фальшивые, по 9 г, а все остальные – настоящие, по 10 г (в частности, первая монета точно фальшивая, а последняя – точно настоящая). За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить все настоящие монеты?
    b) То же, но в ряд лежат 10 монет. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все настоящие монеты?


    4. Есть трое на вид одинаковых чашечных весов. Двое исправных, весят одинаково. Третьи неисправны (могут показать что угодно) и несколько легче. Как за два взвешивания без гирь определить неисправные весы (весы помещаются на чашу других весов).


    5. Есть 10 камней разного веса и чашечные весы без гирь.
    a) За какое наименьшее число взвешиваний можно выявить самый тяжелый камень?
    b) Как за 13 взвешиваний выявить самый тяжелый и самый легкий камень?


    6. а) Одна из 9 монет – фальшивая. Находить ее не нужно. Требуется всего лишь установить, легче она или тяжелее, чем настоящие монеты. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь удастся это сделать?
    b) Тот же вопрос для 10 монет.


    7. Я задумал две цифры. Ты можешь попросить меня проделать в уме некоторые вычисления, а именно умножить первую цифру на какое-то число, вторую цифру на какое-то другое число, произведения сложить и сообщить тебе результат. На какие числа надо умножать, чтобы по одному результату ты смог отгадать обе цифры?


    8. Есть 10 мешков по 100 монет в каждом. Известно, что в одном мешке все монеты по 9 г, а в остальных – все по 10 г. Как за одно взвешивание на электронных весах (они показывают точный вес) определить мешок с легкими монетами?


    9. Кабель состоит из 5 проводов. Один конец кабеля - в подвале, другой - на чердаке. Электрику необходимо установить, какие концы проводов наверху соответствуют каким концам внизу. Для этого он может временно соединить между собой некоторые провода на одном конце (соединять можно и по нескольку проводов вместе, и в несколько групп), а затем проверить на другом конце кабеля, между какими проводами проходит ток. Какое наименьшее число раз электрику придется пробежаться от одного конца кабеля до другого, чтобы справиться с задачей?


    10*. На плоскости расположен квадрат, и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
    Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

    Saturday, September 25th, 2004
    4:18 pm
    Продвинутый маткружок. Занятие 1: За минимум вопросов
     Образовательный проект "Курсор" открывает сетевое зеркало очного математического кружка при школе Сони Ковалевской в Стокгольме, см. объявление о кружке и подробности. Здесь вы можете участвовать в работе кружка заочно: обсуждать задачи и предлагать свои решения. Можно писать и транслитом, если вам так удобнее.

    Ссылки: Следующее занятие       Ответы      Шведская версия

    1. Я задумал целое число от 1 до 16. Разрешается задавать мне вопросы вида «Твое число больше такого-то?»
    а) Как угадать задуманное число за 4 вопроса?
    b) Можно ли наверняка отгадать это число за 3 вопроса?


    2. Я задумал целое число от 1 до 100. Разрешается задавать мне вопросы, на которые можно ответить только «Да» или «Нет» (игра «Данетки»).
    а) Как угадать задуманное число за 7 вопросов?
    b) Можно ли наверняка отгадать это число за 6 вопросов?


    3. Есть 65 одинаковых с виду монет. Из них 64 настоящих – весом ровно в 1 г, и одна фальшивая – весом 0,9 г. На точных электронных весах можно узнать вес любой группы монет. За какое наименьшее число взвешиваний можно наверняка выявить фальшивую монету?


    4. Есть 9 одинаковых с виду монет. Из них 8 настоящих – весят одинаково, и одна фальшивая – легче настоящей. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно наверняка выявить фальшивую монету?


    5. Есть несколько одинаковых с виду монет. Из них все, кроме одной, настоящие – весят одинаково, а одна фальшивая – легче настоящей. При каком количестве монет можно наверняка выявить фальшивую монету за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь?


    6. а) Есть 17 карт. Зритель загадывает одну из них. Фокусник раскладывает все карты не более чем на 4 стопки и узнает у зрителя, в какой стопке оказалась задуманная карта. Докажите, что он всегда может определить задуманную карту за 3 вопроса, а двух вопросов может и не хватить.
    b) При каком наибольшем количестве карт можно наверняка определить задуманную карту за 3 вопроса?


    7. В пятиугольнике проведены все стороны и диагонали. Я загадал один из этих отрезков. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка угадать его при игре в "Данетки"?


    8. На занятии присутствуют 5 мальчиков и 3 девочки. Я загадал одного мальчика и одну девочку.
    а) Как отгадать загаданных за 4 вопроса при игре в "Данетки"?
    b) Докажите, что 3 вопросов может и не хватить.


    9. Я загадал двоих из 7 присутствующих. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка угадать обоих при игре в "Данетки"?


    10*. На складе лежит 81 деталь, промаркированные первым или вторым сортом. Детали одинакового сорта весят одинаково, и каждая деталь второго сорта немного легче детали первого сорта. Известно, что ровно одна из деталей промаркирована неправильно. Покажите, что ее можно наверняка выявить за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь.


    11*. Среди 5 монет – ровно одна фальшивая: она отличается по весу от остальных, но неизвестно – легче или тяжелее. Требуется выявить ее на чашечных весах без гирь и узнать, легче она или тяжелее настоящей. Какое наименьшее число взвешиваний для этого наверняка хватит?



    Дополнительные задачи

    12. Повар выложил на сковородку восемь котлет по кругу (по часовой стрелке), причем каждая следующая выкладываемая котлета была на 10 граммов тяжелее предыдущей. Когда котлеты поджарились, повар обнаружил, что забыл, с какой котлеты он начинал выкладывать. Помогите ему найти самую тяжелую котлету за наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь.


    13. Из 4 монет одна фальшивая – но неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Кроме того, есть еще одна монета – заведомо настоящая. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее?


    14. Среди 7 шаров два радиоактивных. Можно проверять на радиоактивность кучку из любых шаров. За какое наименьшее число проверок можно найти оба радиоактивных шара? (Измеритель радиоактивности не показывает уровня радиации, а только выдает ответ «в данной кучке шаров нет радиоактивных» или «в данной кучке шаров есть радиоактивные»)

    Friday, September 10th, 2004
    7:17 pm
    Кружок для новичков. Тема 1. Добавь или отбрось лишнее
     Вот несколько задач из подборки. Все задачи - вот тут

    4. Этим летом я приехал в Россию утром 25 июня, а уехал вечером 12 августа. Сколько дней я пробыл в России?

    5. На каждой перемене Робин-Бобин съедает по шоколадке. Сколько шоколадок он съел за неделю, если всего было 30 уроков?

    13. Страницы книги пронумерованы от 1 до 336. Сколько всего цифр в этих номерах?

    14. Конюшню с бетонными стенами 12x12м разбили внутренними пергородками на стойла 1x2м. Найдите общую длину внутренниих перегородок.

    Sunday, August 15th, 2004
    3:04 pm
    Школьная математика
     Здесь вы можете оставлять вопросы и просить совета по решению задач из школьной математики. Отвечать постараюсь коротко!
    Thursday, August 12th, 2004
    8:11 pm
    Веселая математика
     Здесь вы можете задавать мне вопросы по кружковой математике, предлагать интересные задачки.
    Wednesday, August 11th, 2004
    4:12 pm
    Здравствуйте !
     Предлагаю обсудить и порешать несколько моих любимых задачек. Они, в общем, для любого возраста.

    Скромное ожидание
    Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Шестиклассник Ваня сказал, что займет последнее. По итогам чемпионата все заняли разные места, и оказалось, что все, кроме, разумеется, Вани, заняли места хуже, чем ожидали. Какое место занял Ваня?

    Эмиграция
    Несколько жителей страны A эмигрировали в страну B. Могло ли в результате среднее значение IQ (коэффициента интеллекта) вырасти в обеих странах?

    Самогонщики
    Три друга гонят самогон, каждый своим аппаратом. У Труса течет жидкость крепостью a градусов, и стандартная бутыль наполняется за a часов; у Балбеса соответственно - b градусов и за b часов, у Бывалого - c градусов и за c часов. Для ускорения процесса друзья направили все шланги в одну бутыль и наполнили ее за сутки. Какова крепость смеси?
    (Примечание для непьющих: крепость - это процент содержания спирта).

    Current Mood: giggly
My Website   About LiveJournal.com

Advertisement