1. Среди 16 шаров один – радиоактивный. Можно проверять на радиоактивность кучку из любых шаров. За какое наименьшее число проверок можно найти радиоактивный шар?

2. Среди 5 шаров два радиоактивных. Можно проверять на радиоактивность кучку из любых шаров. За какое наименьшее число проверок можно найти оба радиоактивных шара? (Измеритель радиоактивности не показывает уровня радиации, а только выдает ответ «в данной кучке шаров нет радиоактивных» или «в данной кучке шаров есть радиоактивные»)

3. a) В ряд лежат 4 монеты, причем до некоторого места все монеты фальшивые, по 9 г, а все остальные – настоящие, по 10 г (в частности, первая монета точно фальшивая, а последняя – точно настоящая). За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить все настоящие монеты?
b) То же, но в ряд лежат 10 монет. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все настоящие монеты?

4. Есть трое на вид одинаковых чашечных весов. Двое исправных, весят одинаково. Третьи неисправны (могут показать что угодно) и несколько легче. Как за два взвешивания без гирь определить неисправные весы (весы помещаются на чашу других весов).

5. Есть 10 камней разного веса и чашечные весы без гирь.
a) За какое наименьшее число взвешиваний можно выявить самый тяжелый камень?
b) Как за 13 взвешиваний выявить самый тяжелый и самый легкий камень?

6. а) Одна из 9 монет – фальшивая. Находить ее не нужно. Требуется всего лишь установить, легче она или тяжелее, чем настоящие монеты. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь удастся это сделать?
b) Тот же вопрос для 10 монет.

7. Я задумал две цифры. Ты можешь попросить меня проделать в уме некоторые вычисления, а именно умножить первую цифру на какое-то число, вторую цифру на какое-то другое число, произведения сложить и сообщить тебе результат. На какие числа надо умножать, чтобы по одному результату ты смог отгадать обе цифры?

8. Есть 10 мешков по 100 монет в каждом. Известно, что в одном мешке все монеты по 9 г, а в остальных – все по 10 г. Как за одно взвешивание на электронных весах (они показывают точный вес) определить мешок с легкими монетами?

9. Кабель состоит из 5 проводов. Один конец кабеля - в подвале, другой - на чердаке. Электрику необходимо установить, какие концы проводов наверху соответствуют каким концам внизу. Для этого он может временно соединить между собой некоторые провода на одном конце (соединять можно и по нескольку проводов вместе, и в несколько групп), а затем проверить на другом конце кабеля, между какими проводами проходит ток. Какое наименьшее число раз электрику придется пробежаться от одного конца кабеля до другого, чтобы справиться с задачей?

10*. На плоскости расположен квадрат, и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?